Question

已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若對于任意(x1 ， y1)∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，則稱集合M是“理想集合”，則下列集合是“理想集合”的是（　　）

• A、M={(x ， y)|y=

  1

  x

  }
• B、M={（x，y）|y=cosx}
• C、M={（x，y）|y=x²-2x+2}
• D、M={（x，y）|y=log₂（x-1）}

Answer 1

分析：根據條件只需要判斷滿足x₁x₂+y₁y₂=0是否恒成立即可．

解答：解：A．y=

1

x

是以x，y軸為漸近線的雙曲線，漸近線的夾角為90°，在同一支上，任意（x₁，y₁）∈M，不存在（x₂，y₂）∈M，滿足“理想集合”的定義；
對任意（x₁，y₁）∈M，在另一支上也不存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，∴不滿足“理想集合”的定義，不是“理想集合”．
B．在函數y=cosx上存在點（0，1）、（

π

2

，0），滿足x₁x₂+y₁y₂=0成立，滿足“理想集合的”，滿足條件．
C．y=x²-2x+2=（x-1）²+1．當點（x₁，y₁）為（0，2）時，若x₁x₂+y₁y₂=0，則y₂=0，不成立，∴C不滿足“理想集合”的定義，不是“理想集合”．
D．在y=log₂（x-1）上當點（x₁，y₁）為（2，0）時，若x₁x₂+y₁y₂=0，則2x₂=0，則x₂=0，但函數的定義域為（1，+∞）此時x₂=0，不成立，
∴D不滿足“理想集合”的定義，不是“理想集合”．
故選：B．

點評：本題考查“理想集合”的定義，利用對于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，是本題解答的關鍵，注意存在與任意的區別．難度較大．