Question

已知函數f(x)=

x-a+1

a-x

(a∈R，且x≠a）．
（Ⅰ） 證明：f（x）+f（2a-x）=-2對函數f（x）在其定義域內的所有x都成立；
（Ⅱ） 當函數f（x）的定義域為[a+

1

2

，a+1]時，求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）計算左邊f（x）+f（2a-x）是否等于-2即可；
（2）先化簡f（x）=-(1+

1

x-a

)，只要由求出x-a的取值范圍，進而可求出函數f（x）的值域．

解答：解：（1）證明：當x≠a時，f（x）+f（2a-x）=

x-a+1

a-x

+

2a-x-a+1

a-(2a-x)

=

x-a+1-(a-x+1)

a-x

=

2(x-a)

a-x

=-2，
∴f（x）+f（2a-x）=-2對函數f（x）在其定義域內的所有x都成立；
（2）當x≠a時，f（x）=-1+

1

a-x

=-(1+

1

x-a

)．
∵a+

1

2

≤x≤a+1，∴

1

2

≤x-a≤1，∴1≤

1

x-a

≤2，∴2≤1+

1

x-a

≤3，
∴-3≤-(1+

1

x-a

)≤-2，即-3≤f（x）≤-2．
故函數f（x）的值域為[-3，-2]．

點評：熟悉證明題的方法和由x的取值求出與之有關的代數式的值是解題的關鍵．