Question

（06年湖南卷理）（14分）

 已知橢圓, 拋物線, 且的公共弦

過橢圓的右焦點 .

  (Ⅰ) 當, 求的值, 并判斷拋物線的焦點是否在直線上;

  (Ⅱ) 是否存在的值, 使拋物線的焦點恰在直線上? 若存在, 求出符合條件的的值; 若不存在, 請說明理由 .

Answer 1

解析：（Ⅰ）當AB⊥x軸時，點A、B關于x軸對稱，所以m＝0，直線AB的方程為：

    　　  x =1，從而點A的坐標為（1，）或（1，－）.  因為點A在拋物線上.

所以，即.此時C₂的焦點坐標為（，0），該焦點不在直線AB上.

（II）解法一： 假設存在、的值使的焦點恰在直線AB上，由（I）知直線AB

的斜率存在，故可設直線AB的方程為．

由消去得………………①

設A、B的坐標分別為（x₁,y₁）, （x₂,y₂）,  

則x₁,x₂是方程①的兩根，x₁＋x₂＝.

　　由　

消去y得.          ………………②

因為C₂的焦點在直線上，

所以，即.代入②有.

即.                      　　  …………………③

由于x₁,x₂也是方程③的兩根，所以x₁＋x₂＝.

從而＝. 解得　　　……………………④

又AB過C_{1、、＼、、}C₂的焦點，所以

，

則    …………………………………⑤

由④、⑤式得，即．

解得于是

因為C₂的焦點在直線上，所以.

　或．

由上知，滿足條件的、存在，且或，．

解法二：設A、B的坐標分別為，．

因為AB既過C₁的右焦點，又過C₂的焦點，

所以.

即.         　 ……①

由（Ⅰ）知，于是直線AB的斜率， ……②

且直線AB的方程是,

所以.        ……③

又因為，所以.    ……④

將①、②、③代入④得．　　……………⑤

　　因為，所以．　　…………⑥

將②、③代入⑥得　　……………⑦

由⑤、⑦得即

解得．將代入⑤得

　　　或．

由上知，滿足條件的、存在，且或，