Question

直線y=kx+1與曲線y=x³+ax+b相切于點A（1，3），則b的值為

 

．

Answer 1

分析：由于切點在直線與曲線上，將切點的坐標代入兩個方程，得到關于a，b，k 的方程，再求出在點（1，3）處的切線的斜率的值，即利用導數求出在x=1處的導函數值，結合導數的幾何意義求出切線的斜率，再列出一個等式，最后解方程組即可得．從而問題解決．

解答：解：∵直線y=kx+1與曲線y=x³+ax+b相切于點A（1，3），
∴

k+1=3 1+a+b=3

…①
又∵y=x³+ax+b，
∴y'=3x²+ax，當x=1時，y'=3+a得切線的斜率為3+a，所以k=3+a；…②
∴由①②得：b=3．
故答案為：3．

點評：本小題主要考查直線的斜率、導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程等基礎知識，考查運算求解能力．屬于基礎題．