Question

在△ABC中，AC=10，過頂點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為D，AD=5，且滿足

AD

=

5

11

DB

．
（1）求|

AB

-

AC

|；
（2）存在實(shí)數(shù)t≥1，使得向量x=

AB

+t

AC

 ， y=t

AB

+

AC

，令k=x•y，求k的最小值．

Answer 1

分析：（1）將向量問題轉(zhuǎn)化為邊的長(zhǎng)度，然后利用勾股定理，即可求解；
（2）先求cosA，再利用向量的數(shù)量積公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到二次函數(shù)，從而可求最小值．

解答：解：（1）∵AD=5，且滿足

AD

=

5

11

DB

．
∴A，B，D三點(diǎn)共線，且DB=11
在Rt△ADC中，CD²=AC²-AD²=75，
在Rt△BDC中，BC²=DB²+CD²=196，∴BC=14
∴|

AB

-

AC

|=|

CB

|=14；
（2）由（1），利用余弦定理，可得cosA=

256+100-196

2•16•10

=

1

2

∵

x

=

AB

+t

AC

 ， 

y

=t

AB

+

AC

∴k=

x

•

y

=t|

AB

|2+(t2+1)

AC

•

AB

+t|

AC

|2=80t²+356t+80
∵t≥1，
∴t=1時(shí)，k取得最小值為516．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量知識(shí)，考查向量的數(shù)量積公式，考查二次函數(shù)的最值，正確運(yùn)用向量的數(shù)量積公式是關(guān)鍵．