Question

已知等比數列{a_n}的公比為q，首項為a₁，其前n項的和為S_n．數列{a_n²}的前n項的和為A_n，數列{（-1）ⁿ⁺¹a_n}的前n項的和為B_n．
（1）若A₂=5，B₂=-1，求{a_n}的通項公式；
（2）①當n為奇數時，比較B_nS_n與A_n的大小；
②當n為偶數時，若|q|≠1，問是否存在常數λ（與n無關），使得等式（B_n-λ）S_n+A_n=0恒成立，若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意知

a 2 1 + a 2 1 q2=5 a1-a1q=-1

，由此可知an=-(

1

2

)n-2，或a_n=2^n-1．
（2）由題設條件知數列{a_n²}，{（-1）ⁿ⁺¹a_n}均為等比數列，首項分別為a₁²，a₁，公比分別為q²，-q．
①當n為奇數時，當q=1時，B_nS_n=na₁²=A_n．當q=-1時，B_nS_n=na₁²=A_n．當q≠±1時，B_2k-1S_2k-1=A_2k-1．綜上所述，當n為奇數時，B_nS_n=A_n．
②當n為偶數時，存在常數λ=

2a1

1+q

，使得等式（B_n-λ）S_n+A_n=0恒成立．由此入手能夠推導出存在常數λ=

2a1

1+q

，使得等式（B_n-λ）S_n+A_n=0恒成立．

解答：解：（1）∵A₂=5，B₂=-1，
∴

a 2 1 + a 2 1 q2=5 a1-a1q=-1

∴

a1=-2 q= 1 2

或

a1=1 q=2

（2分）
∴an=-(

1

2

)n-2，或a_n=2^n-1．（4分）
（2）∵

an+12

an2

=(

an+1

an

)2=q2=常數，

(-1)n+2an+1

(-1)n+1an

=(-1)×

an+1

an

=-q=常數，
∴數列{a_n²}，{（-1）ⁿ⁺¹a_n}均為等比數列，
首項分別為a₁²，a₁，公比分別為q²，-q．（6分）
①當n為奇數時，當q=1時，S_n=na₁，A_n=na₁²，B_n=a₁，
∴B_nS_n=na₁²=A_n．當q=-1時，S_n=a₁，A_n=na₁²，B_n=na₁，
∴B_nS_n=na₁²=A_n．（8分）
當q≠±1時，設n=2k-1（k∈N^*），S2k-1=

a1(1-q2k-1)

1-q

，A2k-1=

a 2 1 [1-(q2)2k-1]

1-q2

=

a 2 1 (1-q2k-1)(1+q2k-1)

1-q2

，B2k-1=

a1[1-(-q)2k-1]

1+q

=

a1(1+q2k-1)

1+q

，
∴B_2k-1S_2k-1=A_2k-1．綜上所述，當n為奇數時，B_nS_n=A_n．（10分）
②當n為偶數時，存在常數λ=

2a1

1+q

，
使得等式（B_n-λ）S_n+A_n=0恒成立．（11分）
∵|q|≠1，∴Sn=

a1(1-qn)

1-q

，An=

a12(1-q2n)

1-q2

，Bn=

a1(1-qn)

1+q

．
∴（B_n-λ）S_n+A_n=[

a1(1-qn)

1+q

-λ]

a1(1-qn)

1-q

+

a12(1-q2n)

1-q2

=

a12(1-qn)2

1-q2

-

λa1(1-qn)

1-q

+

a12(1-q2n)

1-q2

=

2a12(1-qn)

1-q2

-

λa1(1-qn)

1-q

=

a1(1-qn)

1-q

(

2a1

1+q

-λ)．（14分）
由題設，

a1(1-qn)

1-q

(

2a1

1+q

-λ)=0對所有的偶數n恒成立，
又

a1(1-qn)

1-q

≠0，∴λ=

2a1

1+q

．（16分）
∴存在常數λ=

2a1

1+q

，使得等式（B_n-λ）S_n+A_n=0恒成立．

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，避免出錯．