Question

（本小題滿分14分）
已知數列滿足：其中
（1）當時，求的通項公式；
（2）在（1）的條件下，若數列中，且求證：對于恒成立；
（3）對于設的前項和為，試比較與的大小．

Answer 1

（1）；（2）；（3）＜．

試題分析：(I) 當時,可求出從而可得即因而可確定是首項為公比為的等比數列,據此求出其通項公式；
（II）先求出當時，
,
因為b₁=1也滿足上式，因而當時，
然后根據,從得可求出.
(3) 由得：
　
即
從而得到是首項為公比為的等比數列，故,
然后可得　　
＝,
通過分組求和即可求出S_n,到此問題基本得以解決.
（1）當時，
即分
故數列是首項為公比為的等比數列．
故數列的通項公式為　………………………4分
（2）由（1）得，當時，有

…………………6分
也滿足上式，故當時，
，
即…………………………8分
（3）解法一：由得：
　
即
是首項為公比為的等比數列，故………………9分

　　＝
　　＝………………………11分
因此，－＝－
＝
＝
＝
＜．……………………14分
解法二：同解法一得 ……………………9分
……………………11分

　　＝

　

＜．…………………14分(其他解法酌情給分)
點評：（1）等差等比數列的定義是判定一個數列是否是等差或等比數列的依據，要勿必掌握.（2）三角函數公式的變形也是解決本題的基礎，因此要熟記常見的變形公式如：
，還有等.
（3）在比較兩個數或式子大小不易直接比較時，作差比較法是常用也是很有效的方法之一.