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f(x)是定義在[-2π,2π]上的偶函數,當x∈[0,π]時,f(x)=2cosx,當x∈(π,2π]時,y=f(x)的圖象是斜率為,在y軸上截距為-2的直線在相應區間上的部分. 
(1)求的值;    
(2)寫出函數y=f(x)的表達式,作出圖象,并寫出函數的單調區間.
【答案】分析:(1)由題意可得:當x∈(π,2π]時,,再根據函數的奇偶性可得:f(-2π)=f(2π)與,進而結合題中的條件可得答案.
(2)設x∈[-2π,-π),則-x∈(π,2π],由題得:當x∈(π,2π]時,,可得,進而結合函數的奇偶性可得
同理可得:當x∈[-π,0]時,f(x)=2cosx,即可得到答案.
解答:解:(1)因為當x∈(π,2π]時,y=f(x)的圖象是斜率為,在y軸上截距為-2的直線在相應區間上的部分,
所以當x∈(π,2π]時,
又因為y=f(x)是偶函數
所以
又當x∈[0,π]時,f(x)=2cosx,
所以
(2)設x∈[-2π,-π),則-x∈(π,2π],
因為當x∈(π,2π]時,
所以
又因為f(x)是定義在[-2π,2π]上的偶函數,
所以
同理可得:當x∈[-π,0]時,f(x)=2cosx,
所以
其圖象在[-2π,2π]上的圖象如圖所示,
故函數的遞增區間為[-π,0],(π,2π];遞減區間為[-2π,-π),[0,π]
點評:解決此類問題的關鍵是熟練掌握函數的有關性質,如奇偶性、單調性、函數值、圖象等性質,以及函數性質的綜合應用與直線的點斜式方程,此題綜合性較強屬于中檔題.
練習冊系列答案
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函數f(x)是定義在(-2,2)上的奇函數,當x∈(0,2)時,f(x)=2x-1,則f(-
3
2
)
值為(  )

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已知函數y=f(x)是定義在R上的奇函數,且f(2)=0,對任意x∈R,都有f(x+4)=f(x)+f(4)成立,則f(2008)=
0
0

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(1)計算f(0),f(-1);
(2)當x<0時,求f(x)的解析式.

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已知f(x)是定義在R上的函數,給出下列兩個命題:
p:若f(x1)=f(x2),(x1≠x2),則x1+x2=4.
q:若x1,x2∈(-∞,2](x1≠x2),則
f(x1)-f(x2)x1-x2
>0

則使命題“p且q”為真命題的函數f(x)可以是
f(x)=-(x-2)2
f(x)=-(x-2)2

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已知f(x)是定義在R上的不恒為零的函數,且對于任意的a,b∈R,滿足f(a•b)=af(b)+bf(a).又已知f(2)=2,an=
f(2n)
n
bn=
f(2n)
2n
(n∈N*)
,考查下列結論:①f(0)=0;②f(-1)=-1;③a2是a1,a3的等比中項;④b2是b1,b3的等差中項.其中正確的是
①③④
①③④
.(填上所有正確命題的序號)

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