Question

定義在R上的函數f（x）滿足f（x+2）+f（x）=0，且函數f（x+1）為奇函數，對于下列命題：
①函數f（x）是以T=2為周期的函數；
②函數f（x）的圖象關于點（1，0）對稱；
③函數f（x）的圖象關于直線x=2對稱；
④函數f（x）的最大值為f（2）；
⑤f（2013）=0．
其中正確的序號為

②③⑤

．

Answer 1

分析：①利用周期函數的定義判斷．②利用點對稱的性質判斷．③利用軸對稱去判斷．④利用函數的周期性和對稱性判斷．⑤利用周期性和對稱性將f（2013）進行轉換求值．

解答：解：①由f（x+2）+f（x）=0，得f（x+2）=-f（x），即f（x+4）=f（x），所以函數的周期是4，所以①錯誤．
②因為函數f（x+1）為奇函數，所以函數f（x+1）關于（0，0）對稱，將函數f（x+1）向右平移1個單位得到f（x），所以函數f（x）的圖象關于點（1，0）對稱，所以②正確．
③因為函數f（x+1）為奇函數，所以f（-x+1）=-f（x+1），
又f（x+2）=-f（x），所以f（x+3）=-f（x+1），即f（x+3）=f（-x+1），所以函數f（x）有對稱軸x=2，所以③正確
④因為f（2）=-f（0），因為函數的單調性沒有給出，所以無法確定函數的最大值，即④錯誤．
⑤由于f（1）=0，所以f（2013）=f（502×4+1）=f（1）=0，故⑤正確
故答案為：②③⑤．

點評：此題考查了函數的周期定義及利用定義求函數的周期，還考查了函數的對稱及與圖象的平移變換．綜合性較強．