Question

若數列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=

1+an

1-an

（n∈N^*），則a₃=

-

1

2

，a₁•a₂•a₃•…•a₂₀₁₀=

-6

．

Answer 1

分析：由a₁=2，a _n+1=

1+an

1-an

（n∈N^*），先求出a2=

1+2

1-2

=-3，a3=

1-3

1+3

=-

1

2

，a4=

1- 1 2

1+ 1 2

=

1

3

，a5=

1+ 1 3

1- 1 3

=2，由此發現數列是以4為周期的數列．從而能夠求出a₁•a₂•a₃•…•a₂₀₁₀．

解答：解：∵a₁=2，a _n+1=

1+an

1-an

（n∈N^*），
∴a2=

1+2

1-2

=-3，
a3=

1-3

1+3

=-

1

2

，
a4=

1- 1 2

1+ 1 2

=

1

3

，
a5=

1+ 1 3

1- 1 3

=2，
由此發現數列是以4為周期的數列．
且a1•a2•a3•a4=2×(-3)×(-

1

2

)×

1

3

=1．
∵2010=4×502+2．
∴a₁•a₂•a₃•…•a₂₀₁₀=（a₁•a₂•a₃•a₄）⁵⁰²（ a₁•a₂）
=1×[2×（-3）]=-6．
故答案為：-

1

2

，-6．

點評：本題考查數列的遞推公式的應用，解題時要認真審題，先由遞推公式求出前5項，注意觀察尋找規律，正確解題的關鍵是發現數列是以4為周期的數列．