Question

已知雙曲線C的兩個焦點為F₁，F₂，實半軸長與虛半軸長的乘積為，直線l過點F₂，且與線段F₁F₂的夾角為α，，直線l與線段F₁F₂的垂直平分線的交點為P，線段PF₂與雙曲線的交點為Q，且，求雙曲線方程．

Answer 1

解：雙曲線方程為=1，Q（x，y），F₂（c，0），
過Q做x軸垂線，垂足為A，|PQ|：|QF₂|=2：1=|OA|：|AF|，|OA|+|AF|=c，
所以：|OA|=c=x，|AF₂|=，
tanα==
∴y=，即：Q（C，）
代入方程，-=1，
∵c²=a²+b²代入，化簡：
--41=0，
令=k，
16k²-41k-21=0，
（k-3）（16k+7）=0，
k=3或-（負舍）
即：=3，又ab=，解方程組，得
a=1，b=，
故雙曲線方程為：x²-=1．
分析：設出雙曲線的標準方程，和Q的坐標，過Q做x軸垂線，垂足為A，|根據，|PQ|：|QF₂|=|OA|：|AF|和|OA|+|AF|=c，推斷出：|OA|=c=x，|AF₂|=，進而根據tanα求得y的表達式，則Q點坐標可知，代入橢圓方程同時利用c²=a²+b²轉化成關于的方程，求得的值，進而根據ab=聯立求得a和b，則雙曲線的方程可得．
點評：本題主要考查了雙曲線的標準方程．解題的關鍵是盡可能多的從條件中挖掘有效信息，綜合運用所學知識．