Question

已知函數f（x）=ln（2+3x）-

3

2

x²
（1）求f（x）在[0，1]上的極值；
（2）若對于任意x∈[

1

3

，1]不等式|a-f（x）|＞ln5恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）若關于x的方程f（x）=-2x+b在[0.1]上恰有兩個不同的實根，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x）令其=0得到函數駐點，討論函數在[0，1]上，駐點把它分成兩個區間考慮函數的增減性得到極值即可；
（2）|a-f（x）|＞ln5，即a＞f（x）+ln5或a＜f（x）-ln5，問題轉化為求函數的最值，利用導數可求得函數的最大值、最小值；
（3）f（x）=-2x+b可化為ln（2+3x）-

3

2

x2+2x-b=0，令ψ（x）=ln（2+3x）-

3

2

x2+2x-b，利用f（a）f（b）＜0，則a與b之間有交點的方法求出b的取值即可；

解答：解：（1）f′（x）=

3

2+3x

-3x=

-3(x+1)(3x-1)

3x+2

，
令f′（x）=0得x=

1

3

或x=-1（舍去），
∴當0≤x＜

1

3

時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；
當

1

3

＜x≤1時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減．
∴f（

1

3

）=ln3-

1

6

為函數f（x）在[0，1]上的極大值；
（2）由|a-f（x）|＞ln5，可得a-f（x）＞ln5或a-f（x）＜-ln5，即a＞f（x）+ln5或a＜f（x）-ln5，
由（1）當x∈[

1

3

，1]時，f（x）_max=f（

1

3

）=ln3-

1

6

，f（x）_min=f（1）=ln5-

3

2

，
∵a＞f（x）+ln5恒成立，∴a＞ln3-

1

6

+ln5=ln15-

1

6

，
∵a＜f（x）-ln5恒成立，∴a＜ln5-

3

2

-ln5=-

3

2

，
所以a的取值范圍為：a＞ln15-

1

6

或a＜-

3

2

；
（3）由f（x）=-2x+b可得ln（2+3x）-

3

2

x2+2x-b=0，
令ψ（x）=ln（2+3x）-

3

2

x2+2x-b，則ψ′（x）=

3

2+3x

-3x+2=

7-9x2

2+3x

，
令ψ′（x）=0，得x=

7

3

或x=-

7

3

（舍去），
當x∈[0，

7

3

]時，ψ′（x）＞0，ψ（x）在[0，

7

3

]上遞增；當x∈[

7

3

，1]時，ψ′（x）＜0，ψ（x）在[

7

3

，1]上遞減；
而ψ（

7

3

）＞ψ（0），ψ（

7

3

）＞ψ（1），
∴f（x）=-2x+b即ψ（x）=0在[0，1]上恰有兩個不同實根等價于

ψ(0)=ln2-b≤0 ψ( 7 3 )=ln(2+ 7 )- 7 6 + 2 7 3 -b＞0 ψ(1)=ln5+ 1 2 -b≤0

，
由此得，ln5+

1

2

≤b＜ln（2+

7

）-

7

6

+

2 7

3

．

點評：本題主要考查求函數的極值、最值，考查函數思想、轉化思想，考查用函數法解決方程根的問題．