Question

已知f（x）=log₂（x+m），m∈R
（1）如果f（1），f（2），f（4）成等差數列，求m的值；
（2）如果a，b，c是兩兩不等的正數，且a，b，c依次成等比數列，試判斷f（a）+f（c）與2f（b）的大小關系，并證明你的結論．

Answer 1

解：（1）∵f（1），f（2），f（4）成等差數列，
∴f（1）+f（4）=2f（2）．
即log₂（1+m）+log₂（4+m）=log₂（2+m）²
∴（m+1）（m+4）=（m+2）²
即m²+5m+4=m²+4m+4
∴m=0
（2）∵f（a）+f（c）=log₂（a+m）+log₂（c+m）=log₂[（a+m）（c+m）]，
2f（b）=2log₂（b+m）=log₂（b+m）²，
∵a，b，c成等比數列，
∴b²=ac
∵（a+m）（c+m）-（b+m）²
=ac+am+cm+m²-b²-2bm-m²
=ac+m（a+c）-b²-2bm
=m（a+c）-2m
∵a＞0，c＞0．
∴a+c≥2
①m＞0時，（a+m）（c+m）-（b+m）²＞0，
∴log₂[（a+m）（c+m）＞log₂（b+m）²
∴f（a）+f（c）＞2f（b）；
②m＜0時，（a+m）（c+m）-（b+m）²＜0，
∴log₂[（a+m）（c+m）]＜log₂（b+m）²
∴f（a）+f（c）＜2f（b）；
③m=0時，（a+m）（c+m）-（b+m）²=0
∴log₂[（a+m）（c+m）]=log₂（b+m）²
∴f（a）+f（c）=2f（b）．
分析：（1）由f（1），f（2），f（4）成等差數列，知f（1）+f（4）=2f（2）．所以m²+5m+4=m²+4m+4，由此能求出m的值．
（2）由f（a）+f（c）=log₂（a+m）+log₂（c+m）=log₂[（a+m）（c+m）]，知2f（b）=2log₂（b+m）=log₂（b+m）²，由a，b，c成等比數列，知b²=ac．由此按m＞0、m＜0和m=0進行分類判斷f（a）+f（c）與2f（b）的大小關系．
點評：本題考查數列與函數的綜合應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．