【題目】已知橢圓的離心率為
,右焦點為
,斜率為1的直線
與橢圓
交于
兩點,以
為底邊作等腰三角形,頂點為
.
(1)求橢圓的方程;
(2) 為橢圓
上任意一點,若
,求
的最大值和最小值.
(3)求的面積.
【答案】(1) (2) 最大值為1和最小值為
(3)
【解析】試題分析:(1)由離心率及焦點坐標,易得方程;
(2)設則直線
的方程為
,與橢圓聯立由
得
的范圍,又
,即可得解;
(3)設直線的方程為
,與橢圓聯立,利用韋達定理得中點坐標
,從而由
的斜率
,解得
,進而得
,由點到直線距離求得
,利用
求解即可.
試題解析:
(1)由已知得,
,
解得,又
,
所以橢圓的方程為
.
(2)設則直線
的方程為
,則
.
由,得
①
,
的最大值為1和最小值為
.
(3)設直線的方程為
,
由,得
①
設的坐標分別為
,
,
中點為
,
則,
,
因為是等腰
的底邊,所以
,
所以的斜率
,
解得,此時方程①為
,
解得,
,所以
,
,
所以,此時,點
到直線
的距離
,所以
的面積
.
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【題目】已知三棱錐A﹣BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M為AB的中點,D為PB的中點,且△PMB為正三角形.
(1)求證:BC⊥平面APC;
(2)若BC=3,AB=10,求三棱錐B﹣MDC的體積VB﹣MDC .
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【題目】已知數列{an}滿足a1=0,an+1=an+2 +1
(1)求證數列{ }是等差數列,并求出an的通項公式;
(2)若bn= ,求數列{b}的前n項的和Tn .
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【題目】已知平面是不重合的兩個面,下列命題中,所有正確命題的序號是_____.
①若,
分別是平面
的法向量,則
;
②若,
分別是平面
,
的法向量,則
;
③若是平面
的法向量,
與
共面,則
;
④若兩個平面的法向量不垂直,則這兩個平面一定不垂直.
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【題目】某公司試銷一種成本單價為500元的新產品,規定試銷時銷售單價不低于成本單價,又不高于800元.經試銷調查,發現銷售量y(件)與銷售單價x(元)之間的關系可近似看作一次函數y=kx+b(k≠0),函數圖象如圖所示.
(1)根據圖象,求一次函數y=kx+b(k≠0)的表達式;
(2)設公司獲得的毛利潤(毛利潤=銷售總價-成本總價)為S元.試問銷售單價定為多少時,該公司可獲得最大毛利潤?最大毛利潤是多少?此時的銷售量是多少?
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【題目】共享單車的推廣給消費者帶來全新消費體驗,迅速贏得廣大消費者的青睞,然而,同時也暴露出管理、停放、服務等方面的問題,為了了解公眾對共享單車的態度(提倡或不提倡),某調查小組隨機地對不同年齡段50人進行調查,將調查情況整理如下表:
并且,年齡在和
的人中持“提倡”態度的人數分別為5和3,現從這兩個年齡段中隨機抽取2人征求意見.
(Ⅰ)求年齡在中被抽到的2人都持“提倡”態度的概率;
(Ⅱ)求年齡在中被抽到的2人至少1人持“提倡”態度的概率.
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【題目】已知在直角坐標系xOy中,圓C的參數方程為 (θ為參數),以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為
. (Ⅰ)求圓C的普通方程和直線l的直角坐標方程;
(Ⅱ)設M是直線l上任意一點,過M做圓C切線,切點為A、B,求四邊形AMBC面積的最小值.
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【題目】已知函數f(x)=x2+ax﹣lnx,a∈R.
(1)若函數f(x)在[1,2]上是減函數,求實數a的取值范圍;
(2)令g(x)=f(x)﹣x2 , 是否存在實數a,當x∈(0,e](e是自然常數)時,函數g(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,說明理由.
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【題目】已知點A(0,-2),橢圓E: (a>b>0)的離心率為
,F是橢圓E的右焦點,直線AF的斜率為
,O為坐標原點.
(1)求E的方程;
(2)設過點A的動直線l與E相交于P,Q兩點.當△OPQ的面積最大時,求l的方程.
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