Question

設x，y滿足約束條件

4x-y+4≥0 8x+y-16≤0 x≥0，y≥0

，若目標函數z=ax+by（8b＞a＞0）的最大值為5，則

1

a

+

2

b

的最小值為（　　）

• A、5
• B、6
• C、7
• D、8

Answer 1

分析：先根據條件畫出可行域，設z=ax+by，再利用幾何意義求最值，將最大值轉化為y軸上的截距，只需求出直線z=ax+by，過可行域內的點（4，6）時取得最大值，從而得到一個關于a，b的等式，最后利用基本不等式求最小值即可．

解答：解：不等式表示的平面區域如圖所示陰影部分，
當直線ax+by=z（a＞0，b＞0）過直線4x-y+4=0與直線8x+y-16=0的交點（1，8）時，
目標函數z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大5，
即a+8b=5，
而  (

1

a

+

2

b

)

a+8b

5

=

1

5

[17+

8b

a

+

2a

b

)]≥5≥5．
則

1

a

+

2

b

的最小值為5，
故選A．

點評：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用、簡單的線性規劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎題．本題要求能準確地畫出不等式表示的平面區域，并且能夠求得目標函數的最值．