Question

設函數.

（1）若函數是定義域上的單調函數，求實數的取值范圍；

（2）求函數的極值點.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）時，在上有唯一的極小值點；

時，有一個極大值點和一個極小值點；時，函數在上無極值點.

【解析】（1）先求導，可得,因為函數是定義域上的單調函數,所以只能是上恒成立，也就是說函數f(x)只能是增函數，到此問題基本得解.

（2）在（1）的基礎上，可知當時，的點是導數不變號的點，函數無極值點；然后再分和兩種情況進一步研究.

解:（1），若函數是定義域上的單調函數，

則只能在上恒成立，即在上恒成立.，

，

令，則，可得，即只要.

（或令，則函數圖象的對稱軸方程是，故只要恒成立，）

（2）有（1）知當時，的點是導數不變號的點，

故時，函數無極值點；

當時，的根是，

若，，此時，，且在上，

在上，故函數有唯一的極小值點；

當時，，此時，

在都大于，在上小于 ，

此時有一個極大值點和一個極小值點．

綜上可知，時，在上有唯一的極小值點；

時，有一個極大值點和一個極小值點；時，函數在上無極值點.