Question

①棱長為1的正四面體與一個球①若正四面體的四個頂點都在球面上，則這個球的表面積

3π

2

．
②若球與正四面體的六條棱都相切，則這個球的體積

2 π

24

．

Answer 1

分析：①把四面體補成正方體，兩者的外接球是同一個，求出正方體的棱長，然后求出正方體的對角線長，就是球的直徑，即可求出表面積；
②球與正四面體的六條棱都相切，球的直徑就是正四棱錐的對棱的距離，然后求出球的體積．

解答：解：①將四面體補成正方體，則正方體的棱長是

2

2

，正方體的對角線長為：

6

2

，
則此球的表面積為：4π×(

6

4

)2=

3

2

π．
②若球與正四面體的六條棱都相切，則這個球的直徑就是正四棱錐的對棱的距離，

( 3 2 )2-( 1 2 )2

=

2

2

．半徑為

2

4

，球的體積為：

4π

3

(

2

4

)3=

2 π

24

；
故答案為：

3

2

π；

2 π

24

．

點評：本題是基礎題，考查空間想象能力，正四面體的外接球轉化為正方體外接球，使得問題的難度得到降低，問題得到解決，注意正方體的對角線就是球的直徑，也是比較重要的．