Question

已知：函數f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx+a，a為實常數．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）f（x）在[-

π

6

，

π

3

]上最大值為3，求a的值．

Answer 1

分析：利用二倍角公式及輔角公式化為f(x)=2•

1+cos2x

2

+

3

sin2x+a=2sin(2x+

π

6

)+1+a
（1）最小正周期易求．
（2）將2x+

π

6

視為整體，求出范圍．再利用三角函數的性質得出最大值的表達式，解此關于a的方程即可．

解答：解：f(x)=2•

1+cos2x

2

+

3

sin2x+a=2sin(2x+

π

6

)+1+a
（1）最小正周期T=π
（2）由x∈[-

π

6

，

π

3

]可得2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]
∴sin(2x+

π

6

)max=1
則f（x）_max=2×1+1+a=3
∴a=0

點評：本題考查二倍角公式及輔角公式的應用，三角函數的圖象與性質，屬于常規知識和能力．