Question

求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（1）離心率e=

2

3

，短軸長為8

5

．
（2）焦點(diǎn)在y軸上，與y軸的一個交點(diǎn)為P（0，-10），P到它較近的一個焦點(diǎn)的距離等于2．

Answer 1

分析：（1）由題意可得

b=4 5 e= c a = 2 3 a2-b2=c2

，解方程組即可求得a，b；
（2）可設(shè)出焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），結(jié)合題意即可求得a，b的值．

解答：解：（1）由  

b=4 5 e= c a = 2 3 a2-b2=c2

⇒

a=12 c=8

，
∴橢圓的方程為：

x2

144

+

y2

80

=1或

y2

144

+

x2

80

=1．
（2）∵橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），
∵P（0，-10）在橢圓上，
∴a=10．
又∵P到它較近的一焦點(diǎn)的距離等于2，
∴-c-（-10）=2，故c=8．
∴b²=a²-c²=36．
∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

y2

100

+

x2

36

=1．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及橢圓的簡單性質(zhì)，在焦點(diǎn)位置不確定時需分類討論，考查分析與計算的能力，屬于中檔題．