Question

已知函數(shù)f(x)=x+

a

x

+2，x∈[1，+∞)．
（Ⅰ）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷并證明f（x）的單調(diào)性，并求其值域；
（Ⅱ）若對(duì)任意x∈[1，+∞），f（x）＞0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，設(shè)1≤x₁＜x₂，利用作差法比較f（x₁）與f（x₂）的大小，進(jìn)而證明函數(shù)f（x）為單調(diào)減函數(shù)，再利用單調(diào)性求函數(shù)最值即可；
（II）根據(jù)題意：“對(duì)任意x∈[1，+∞)，f(x)=

x2+2x+a

x

＞0恒成立”轉(zhuǎn)化為“只需對(duì)任意x∈[1，+∞），x²+2x+a＞0恒成立”．再設(shè)g（x）=x²+2x+a，x∈[1，+∞），利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值，即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，
則△x=x₂-x₁＞0，△y=f(x2)-f(x1)=x2+

a

x2

+2-x1-

a

x1

-2=(x2-x1)(1-

a

x1x2

)，…（2分）
當(dāng)a=

1

2

時(shí)，f(x2)-f(x1)=(x2-x1)(1-

1

2x1x2

)，
∵1≤x₁＜x₂，∴x2-x1＞0，1-

1

2x1x2

＞0，恒成立
∴△y＞0，
∴f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得最小值為f(1)=1+

1

2

+2=

7

2

，
∴f（x）的值域?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">[

7

2

，+∞)．
（Ⅱ）f(x)=x+

a

x

+2可變?yōu)閒(x)=

x2+2x+a

x

，
∵對(duì)任意x∈[1，+∞)，f(x)=

x2+2x+a

x

＞0，恒成立
∴只需對(duì)任意x∈[1，+∞），x²+2x+a＞0恒成立．
設(shè)g（x）=x²+2x+a，x∈[1，+∞），
∵g（x）的對(duì)稱軸為x=-1，∴只需g（1）＞0便可，g（1）=3+a＞0，
∴a＞-3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的定義，利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性的方法和步驟，作差法比較大小，代數(shù)變形能力，屬中檔題．