Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為2，點(diǎn)（a_n，a_n+1）在函數(shù)x-y+2=0的圖象上
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)之和為S_n，求

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

的值．

Answer 1

分析：（I）由點(diǎn)（an ，a_n+1）在函數(shù)y=x+2的圖象上，知a_n+1=a_n+2．由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知S_n=

(2n+2)n

2

=n（n+1）．所以

1

Sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用裂項(xiàng)求和法能求出

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

的值．

解答：（本題滿分10分）
解：（I）∵點(diǎn)（an ，a_n+1）在函數(shù)y=x+2的圖象上，∴a_n+1=a_n+2．（2分）
∴數(shù)列{a_n}是以首項(xiàng)為2公差為2的等差數(shù)列，（3分）
∴a_n=2+2（n-1）=2n．（4分）
（Ⅱ）∵數(shù)列{a_n}是以首項(xiàng)為2公差為2的等差數(shù)列，
∴S_n=

(2n+2)n

2

=n（n+1）．（5分）
∴

1

Sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，（7分）
∴

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）（8分）
=1-

1

n+1

=

n

n+1

．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．