Question

點O為△ABC內一點，且存在正數λ1，λ2，λ3使λ1

OA

+λ2

OB

+λ3

OC

=

0

，設△AOB，△AOC的面積分別為S₁、S₂，則S₁：S₂=（　　）

A．λ₁：λ₂

B．λ₂：λ₃

C．λ₃：λ₂

D．λ₂：λ₁

Answer 1

分析：本選擇題利用特殊化方法解決．取正數λ1=

1

6

，λ2=

1

3

，λ3=

1

2

，結合向量的運算法則：平行四邊形法則得到O是三角形AB₁C₁的重心，得到三角形面積的關系．

解答：解：取正數λ1=

1

6

，λ2=

1

3

，λ3=

1

2

，
∵滿足λ1

OA

+λ2

OB

+λ3

OC

=

0

即：

1

6

OA

+

1

3

OB

+

1

2

OC

=

0

，
∴

OA

+2

OB

+3

OC

=

0

，
設 2

OB

=

OB1

，3

OC

=

OC1

，如圖，
則O是三角形AB₁C₁的重心，
故三角形AOB₁和AOC₁的面積相等，
又由圖可知：
△AOB與△AOC的面積分別是三角形AOB₁和AOC₁的面積的一半和三分之一，
則△AOB與△AOC的面積之比是

1

2

：

1

3

=

3

2

．即λ₃：λ₂
故選C．

點評：本小題主要考查向量在幾何中的應用、向量的運算法則等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、特殊化思想．屬于基礎題．