Question

如圖，ABCD是邊長為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE與平面ABCD所成角為60°．
（1）求證：AC⊥平面BDE；
（2）設點M是線段BD 上一個動點，試確定點M的位置，使得AM∥平面BEF，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）根據DE⊥平面ABCD，由線面垂直的判定定理可知DE⊥AC，由ABCD是正方形可知AC⊥BD，而DE∩BD=D，滿足線面垂直的判定所需條件，從而證得結論；
（2）當M是BD的一個三等分點，即3BM=BD時，AM∥平面BEF．取BE上的三等分點N，使3BN=BE，連接MN，NF，則DE∥MN，且DE=3MN，而AF∥DE，且DE=3AF，則四邊形AMNF是平行四邊形，從而AM∥FN，AM?平面BEF，FN?平面BEF，滿足線面平行的判定定理，從而證得結論．

解答：（1）證明：因為DE⊥平面ABCD，
所以DE⊥AC．…（2分）
因為ABCD是正方形，
所以AC⊥BD，因為DE∩BD=D…（4分）
從而AC⊥平面BDE．…（6分）
（2）當M是BD的一個三等分點，即3BM=BD時，AM∥平面BEF．   …（7分）
取BE上的三等分點N，使3BN=BE，連接MN，NF，則DE∥MN，且DE=3MN，
因為AF∥DE，且DE=3AF，所以AF∥MN，且AF=MN，
故四邊形AMNF是平行四邊形．            …（10分）
所以AM∥FN，
因為AM?平面BEF，FN?平面BEF，…（12分）
所以AM∥平面BEF．                    …（14分）

點評：本題主要考查了線面垂直的判定，以及線面平行的判定，同時考查了推理論證的能力，屬于中檔題．