Question

（2013•南充三模）定義在R上的函數y=f（x）其周期為4，且滿足：①f（x）是偶函數；②（1，0）是函數y=f（x）的一個對稱點；且當0＜x≤1時，f（x）=log₃x，則方程f（x）+4=0在區間（-2，10）內的所有實根個數為（　　）

A．4

B．5

C．6

D．8

Answer 1

分析：利用函數的周期性、奇偶性和對稱性，結合圖象可得方程的根．

解答：解：根據題意，當0＜x≤1時，f（x）=log₃x=-4，可得x=3^-4=

1

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，
因為f（x）是偶函數，所以當-1≤x＜0時，f（x）=log₃（-x）=-4，
可得-x=3-4，x=-

1

81

，
∵f（x-1）是奇函數，圖象關于點（-1，0）對稱，
∴當-2＜x≤-1時的函值域與當-1≤x＜0時函數值域互為相反數，f（x）≥0，方程f（x）=-4沒有實根
再根據f（x）是偶函數，圖象關于點y軸對稱得，當-2＜x≤-1時的函值域與當1≤x＜2時函數值域相同，
f（x）≥0，方程f（x）=-4沒有實根，
因此函數在（-2，2）只有兩個實數根x=±

1

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，
因為函數的周期為4，因此可得在（2，6）只有兩個實數根x=±

1

81

+4，
在（6，10）只有兩個實數根x=±

1

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+8，
因此可得函數方程f（x）+4=0在區間（-2，10）內的所有實根個數為6個．
故選C．

點評：本題主要考查函數的周期性、奇偶性以及對稱性的綜合應用，綜合性比較強．