Question

已知函數f（x）=cossinx（x∈R），給出下列四個命題：
①若f（x₁）=-f（x₂）則x₁=-x₂
②f（x）的最小正周期是2π
③在區間[]上是增函數；
④f（x）的圖象關于直線x=
其中真命題是（ ）
A．①②④
B．①③
C．②③
D．③④

Answer 1

【答案】分析：先根據二倍角公式將函數f（x）進行化簡，根據正弦函數的性質和知判斷①；根據最小正周期的求法可判斷②；根據正弦函數的單調性可判斷③；再由正弦函數的對稱性可判斷④．
解答：解：∵f（x）=cosxsinx=sin2x
若f（x₁）=-f（x₂），則sin2x₁=-sin2x₂=sin（-2x₂）∴2x₁=-2x₂+2kπ時滿足條件，即x₁+x₂=kπ可以，故①不正確；
T=，故②不正確；
令，得-，當k=0時，x∈[-，]f（x）是增函數，故③正確；
將x=代入函數f（x）得，f（）=-為最小值，故f（x）的圖象關于直線x=對稱，④正確．
故選D．
點評：本題主要考查正弦函數的二倍角公式和正弦函數的性質．基礎知識的熟練掌握是解題的關鍵，一定要將基礎打牢．