Question

7．某店銷售進價為2元/件的產品A，假設該店產品A每日的銷售量y（單位：千件）與銷售價格x（單位：元/件）滿足的關系式y=$\frac{10}{x-2}$+4（x-6）²，其中2＜x＜6．
（1）若產品A銷售價格為4元/件，求該店每日銷售產品A所獲得的利潤；
（2）試確定產品A銷售價格x的值，使該店每日銷售產品A所獲得的利潤最大．（保留1位小數點）

Answer 1

分析 （1）當x=4時，銷量$y=\frac{10}{2}+4{（{4-6}）^2}=21$千件，可得該店每日銷售產品A所獲得的利潤；
（2）商場每日銷售該商品所獲得的利潤=每日的銷售量×銷售該商品的單利潤，可得日銷售量的利潤函數為關于x的三次多項式函數，再用求導數的方法討論函數的單調性，得出函數的極大值點，從而得出最大值對應的x值．

解答 解：（1）當x=4時，銷量$y=\frac{10}{2}+4{（{4-6}）^2}=21$千件，
所以該店每日銷售產品A所獲得的利潤是2×21=42千元；…（5分）
（2）該店每日銷售產品A所獲得的利潤：$f（x）=（{x-2}）[{\frac{10}{x-2}+4{{（{x-6}）}^2}}]=10+4{（{x-6}）^2}（{x-2}）=4{x^3}-56{x^2}+240x-278（{2＜x＜6}）$
從而f'（x）=12x²-112x+240=4（3x-10）（x-6）（2＜x＜6）…（8分）
令f'（x）=0，得$x=\frac{10}{3}$，且在$（{2，\frac{10}{3}}）$上，f'（x）＞0，函數f（x）單調遞增；
在$（{\frac{10}{3}，6}）$上，f'（x）＜0，函數f（x）遞減，…（10分）
所以$x=\frac{10}{3}$是函數f（x）在（2，6）內的極大值點，也是最大值點，…（11分）
所以當$x=\frac{10}{3}≈3.3$時，函數f（x）取得最大值．
故當銷售價格為3.3元/件時，利潤最大…（12分）

點評 本題考查導數在實際問題中的運用：求最值，求出利潤的函數式和正確求導是解題的關鍵，考查運算能力，屬于中檔題．