Question

已知雙曲線的中心在原點，以兩條坐標軸為對稱軸，離心率是，兩準線間的距離大于，且雙曲線上動點P到A（2，0）的最近距離為1。

（Ⅰ）求證：該雙曲線的焦點不在y軸上；

（Ⅱ）求雙曲線的方程；

（Ⅲ）如果斜率為k的直線L過點M（0，3），與該雙曲線交于A、B兩點，若，試用l表示k²,并求當時，k的取值范圍。

Answer 1

證明（Ⅰ）：設雙曲線的實軸長為2a，虛軸長為2b，焦距為2c，

由，得c=a，a=b，

∴雙曲線的漸近線方程為y=±x。

若雙曲線的焦點在y軸上，則雙曲線上任一點到點A（2，0）的距離大于點A到漸近線的距離，而點A到漸近線的距離d=>1,這與“雙曲線上動點P到A（2，0）的最近距離為1”矛盾。所以雙曲線的焦點不在y軸上。

解（Ⅱ）：由（Ⅰ）知，雙曲線的焦點在x軸上，

設雙曲線的方程為x²-y²=a²，P（x₀,y₀），則，

|PA|²===,

a>1.當點P到A的距離最小時，x₀³a，又由得a>1，

所以，當x₀=a時，|PA|²有最小值，即2(a-1)²+2-a²=(a-2)²=1,

∴a=3，所以,雙曲線的方程為x²-y²=9

解（Ⅲ）：設直線l的方程為y=kx+3,A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂)

∵,

∴(-x₁,3-y₁)=l(x₂,y₂-3) , ∴x₁=-lx₂（x₁x₂<0）    ①,

由消去y得，（1-k²）x²-6kx-18=0，

x₁+x₂=     ②，    x₁x₂=<0     ③

將①分別代入②、③得，（1-l）x₂=      ④  lx₂²=    ⑤

④²¸⑤并整理得， (l>0)

令f(l)=,則

令，得l=1；令，得0<l<1；令，得l>1

當時，,，，∴

∴，∴