Question

已知函數f（x）=ln（1+x²）+ax，其中a為不大于零的常數．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）證明：(1+

1

22

)(1+

1

42

)•…•(1+

1

22n

)＜e（n∈N^*，e為自然對數的底數）．

Answer 1

分析：（1）利用求導法則求出函數f（x）的導函數，把導函數解析式通分化簡，根據a為不大于零的常數，分a=0，a小于等于-1，以及a大于0小于-1三種情況分別討論導函數的正負，并利用二次函數的圖象與性質，進而確定函數的單調性；
（2）令a=-1，代入函數解析式，由第一問當a≤-1時，f（x）在（-∞，+∞）上單調遞減，可得a=-1時，函數為減函數，故當x大于0時，f（x）小于f（0），而f（0）=0，故f（x）小于0，即ln（1+x²）＜x，所證不等式左邊取為e為底數的對數，利用對數的運算性質化簡，并根據ln（1+x²）＜x變形，再利用等比數列的前n項和公式化簡，得出其中小于1，最后再根據對數的運算性質即可得證．

解答：解：（1）f′(x)=

2x

1+x2

+a=

ax2+2x+a

1+x2

，（1分）
①當a=0時，∵f'（x）＞0?2x＞0，即x＞0，f'（x）＜0?2x＜0，即x＜0，
∴f（x）在（0，+∞）單調遞增，在（-∞，0）單調遞減；（3分）
②當

a＜0 △≤0

，即a≤-1時，f′（x）≤0對x∈R恒成立，
∴f（x）在（-∞，+∞）上單調遞減；（5分）
③當-1＜a＜0時，∵f′（x）＞0?ax²+2x+a＞0?

-1+ 1-a2

a

＜x＜

-1- 1-a2

a

，
f′（x）＜0?ax²+2x+a＜0?x＜

-1+ 1-a2

a

或x＞

-1- 1-a2

a

，
∴f(x)在(

-1+ 1-a2

a

，

-1- 1-a2

a

)上單調遞增，
在(-∞，

-1+ 1-a2

a

)和(

-1- 1-a2

a

，+∞)上單調遞減；  （7分）
綜上所述，當a≤-1時，f（x）在（-∞，+∞）上單調遞減，
當-1＜a＜0時，f（x）在(

-1+ 1-a2

a

，

-1- 1-a2

a

)上單調遞增，
在(-∞，

-1+ 1-a2

a

)和(

-1- 1-a2

a

，+∞)上單調遞減．
當a=0時，f（x）在（0，+∞）單調遞增，在（-∞，0）上單調遞減；（8分）
（2）由（1）知，當a=-1時，f（x）在（-∞，+∞）上單調遞減，
當x∈（0，+∞）時，由f（x）＜f（0）=0得：ln（1+x²）＜x，（10分）
∴ln[(1+

1

22

)(1+

1

42

)•…•(1+

1

22n

)]=ln(1+

1

22

)+ln(1+

1

42

)+…+ln(1+

1

22n

)＜

1

2

+

1

4

+…+

1

2n

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=(1-

1

2n

)＜1=lne，
∴(1+

1

22

)(1+

1

42

)•…•(1+

1

22n

)＜e（14分）

點評：此題考查了求導法則，等比數列的前n項和公式，利用導函數的正負判斷函數的單調性，二次函數的性質，不等式的證明，函數單調性的應用，以及對數的運算性質，利用了轉化及分類討論的思想，是一道綜合性較強的中檔題．