Question

（理科）2013年將舉辦的第十二屆中國•東海國際水晶節(jié)，主題為“水晶之都•福如東海”，于9月28日在國內(nèi)唯一水晶博物館正式開幕．為方便顧客，在休息區(qū)200m²的矩形區(qū)域內(nèi)布置了如圖所示的休閑區(qū)域（陰影部分），已知下方是兩個相同的矩形．在休閑區(qū)域四周各留下1m寬的小路，若上面矩形部分與下方矩形部分高度之比為1：2．問如何設(shè)計休息區(qū)域，可使總休閑區(qū)域面積最大．

Answer 1

分析：設(shè)整個休息區(qū)域的寬為xm，建立休閑區(qū)域面積對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，利用基本不等式進行求解即可．

解答：解：設(shè)整個休息區(qū)域的寬為xm，則高為

200

x

m．
下方矩形寬為

x-3

2

，高為(

200

x

-3)×

2

3

=

400

3x

-2；
上方矩形寬為x-2，高為(

200

x

-3)×

1

3

=

200

3x

-1．        
則休閑區(qū)域面積y=2×

x-3

2

×(

400

3x

-2)+(x-2)×(

200

3x

-1)=208-(

1600

3x

+3x)≤208-2

1600 3x ×3x

=128m²．       
當(dāng)且僅當(dāng)

1600

3x

=3x，即x=

40

3

m時，上式取等號．
答：當(dāng)矩形的寬為

40

3

m，高為15m時，休閑區(qū)域面積最大．

點評：本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用題，利用基本不等式進行求解是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運算能力．