Question

已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列,數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列,且對(duì)任意的,都有.
（1）若{b_n }的首項(xiàng)為4,公比為2,求數(shù)列{a_n+b_n}的前n項(xiàng)和S_n;
（2）若 ，試探究:數(shù)列{b_n}中是否存在某一項(xiàng),它可以表示為該數(shù)列中其它項(xiàng)的和？若存在,請(qǐng)求出該項(xiàng)；若不存在,請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）  ；（2）不存在.

解析試題分析：對(duì)任意的,都有.
所以( )兩式相減可求  
（1）由于等比數(shù){b_n }的首項(xiàng)為4,公比為2,可知 ,于是可求得 ,
再將數(shù)列{a_n+b_n}的前n項(xiàng)和拆分為等差數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)和與等比數(shù)列的前 項(xiàng)和之和.
（2）由,    假設(shè)存在一項(xiàng) ,可表示為 
一方面, ,另一方面,
 
兩者相矛盾K值不存在.
試題解析：
解:（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/70/9/gtzsk2.png" style="vertical-align:middle;" />,所以當(dāng)時(shí),
,
兩式相減,得,
而當(dāng)n=1時(shí),,適合上式,從而,3分
又因?yàn)閧b_n}是首項(xiàng)為4,公比為2的等比數(shù)列,即,所以，4分
從而數(shù)列{a_n+b_n}的前項(xiàng)和；6分
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/38/e/qosjt1.png" style="vertical-align:middle;" />，,所以，. 8分
假設(shè)數(shù)列{b_n}中第k項(xiàng)可以表示為該數(shù)列中其它項(xiàng)的和,即,從而,易知 ,(*) 9分
又,
所以,此與(*)矛盾,從而這樣的項(xiàng)不存在． 12分
考點(diǎn)：1、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前 項(xiàng)和公式；2、拆項(xiàng)求和.