Question

【題目】已知函數.

（1）討論的單調性；

（2）當時，，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）求出函數的導數，分和兩種情況討論，分析導數的符號變化，即可求出函數的單調區間；

（2）問題變形為，令，由題意得出，根據函數的單調性確定的范圍即可．

（1），定義域為且.

①當時，則，則函數在上單調遞增；

②當時，由，得，得.

當時，，函數單調遞減；

當時，，函數單調遞增.

此時，函數的單調減區間為，單調增區間為.

綜上所述，當時，函數的單調遞增區間為；

當時，函數的單調減區間為，單調增區間為；

（2）變形為，

令，定義域為，且，

.

①當時，對任意的，，函數在區間上為增函數，

此時，，合乎題意；

②當時，則函數在上的單調減區間為，單調增區間為.

（i）當時，即當時，則函數在區間上為增函數，

此時，則函數在區間上為增函數.

此時，，合乎題意；

（ii）當時，即當時，則函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，所以，，

又，所以，函數在區間上單調遞減，

當時，，不合乎題意.

綜上所述，實數的取值范圍是.