Question

設(shè)正數(shù)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)之和為S_n滿足S_n=(

an+1

2

)2
①先求出a₁，a₂，a₃，a₄的值，然后猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．
②設(shè)bn=

1

anan+1

，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

Answer 1

分析：①求出數(shù)列的前若干項(xiàng)，歸納出一般結(jié)論，用數(shù)學(xué)歸納法證明．
③把通項(xiàng) bn=

1

anan+1

 裂項(xiàng)變?yōu)?

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

 ），其前n項(xiàng)的和 T_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

 -

1

5

）+（

1

5

- 

1

7

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]=

1

2

（1-

1

2n+1

 ） 化簡可得結(jié)果．

解答：解：①在 S_n=(

an+1

2

)2中，令n=1可得，a₁=(

a1+1

2

)2，∴a₁=1． 令n=2 可得，1+a₂=(

a2+1

2

)2，
 a₂ =3，同理可求，a₃=5，a₄=7．
猜測a_n=2n-1．
證明：當(dāng)n=1時，猜測顯然成立，假設(shè)   a_k=2k-1，
則由  a_k+1=s_k+1-s_k=(

ak+1+1

2

)2-(

ak+1

2

)2=(

ak+1+1

2

)2-k²，解得 a_k+1=2k+1，
故n=k+1時，猜測仍然成立，
③∵bn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

 ），
∴T_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

 -

1

5

）+（

1

5

- 

1

7

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]=

1

2

（1-

1

2n+1

 ）
=

n

2n+1

．

點(diǎn)評：本題考查歸納推理，用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，用裂項(xiàng)法進(jìn)行數(shù)列求和，裂項(xiàng)求和是解題的難點(diǎn)．