Question

已知函數f(x)=

4(x-a)

x2+4

．（a∈R）
（Ⅰ）判斷f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）設方程x²-2ax-1=0的兩實根為m，n（m＜n），證明函數f（x）是[m，n]上的增函數．

Answer 1

分析：（Ⅰ）結合題意分別討論：當a=0時與當a≠0時，函數的奇偶性，當a≠0時，取x=±1，得f(-1)+f(1)=-

8

5

a≠0，f(-1)-f(1)=-

8

5

≠0，即可得到答案．
（Ⅱ）利用導數判定函數的單調性，再利用二次函數的性質判定其導數與0的大小，即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）當a=0時，f(x)=

4x

x2+4

，
對任意x∈（-∞，+∞），f(-x)=

4(-x)

(-x)2+4

=-

4x

x2+4

=-f(x)，
∴f（x）為奇函數．  
當a≠0時，f(x)=

4(x-a)

x2+4

，
取x=±1，得f(-1)+f(1)=-

8

5

a≠0，f(-1)-f(1)=-

8

5

≠0，
∴f（-1）≠-f（1），f（-1）≠f（1），
∴函數f（x）既不是奇函數，也不是偶函數．  
（Ⅱ）證明：因為f(x)=

4(x-a)

x2+4

，
所以f′(x)=

4(x2+4)-4(x-a)•2x

(x2+4)2

=

-4x2+8ax+16

(x2+4)2

=

-4(x2-2ax-1)+12

(x2+4)2

設g（x）=x²-2ax-1，當x∈[m，n]時，g（x）≤0，即x²-2ax-1≤0，
-4（x²-2ax-1）≥0，
∴

-4(x2-2ax-1)+12

(x2+4)2

＞0．
所以f（x）在區間[m，n]上是增函數．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握函數的有關性質，并且熟練利用導數判定函數的單調性．