Question

（本題滿分12分）

已知直線與曲線交于不同的兩點，為坐標原點．

（1）若，求證：曲線是一個圓；

（2）若，當且時，求曲線的離心率的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）設直線與曲線的交點為∴

在上∴，兩式相減得∴ 即： ∴曲線是一個圓  

（2）

【解析】

試題分析：（1）證明：設直線與曲線的交點為

∴ 即：

∴                         ……………………2分

在上

∴，

∴兩式相減得：         ……………………4分

∴ 即：                  

∴曲線是一個圓                           ……………………6分

（2）設直線與曲線的交點為，

∴曲線是焦點在軸上的橢圓                     

∴ 即：                  

將代入整理得：

∴，      ……………………8分

在上   ∴

又

∴

∴2

∴

∴

∴

∴

∴                 ……………………10分

∴

∴

                                   ……………………12分

考點：橢圓性質及直線與橢圓相交問題

點評：直線與橢圓相交時，常聯立方程利用韋達定理求解關于弦長，中點弦及垂直夾角等問題；求橢圓離心率的題目需要轉化出關于的方程或不等式