Question

設數列{a_n}滿足a₁=2,a_n+1=a_n+,(n=1,2,3,…)

(1)證明a_n＞對一切正整數n都成立；

(2)令b_n=（n=1,2,3…）,判定b_n與b_n+1的大小，并說明理由.

Answer 1

證明：

（1）當n=1時，a₁=2＞,不等式成立.

假設n=k時，a_k＞成立.當n=k+1時，

a_k+1²=a_k²++2＞2k+3+＞2(k+1)+1.

∴n=k+1時，a_k+1＞成立.

綜上，由數學歸納法可知a_n＞對一切正整數n成立.

（2）=(1+)＜(1+)·

＜1.故b_n+1＜b_n.