Question

【題目】已知拋物線C的頂點在坐標原點，焦點F在x軸的正半軸上，過點F的直線l與拋物線C相交于A、B兩點，且滿足 ．
（1）求拋物線C的標準方程；
（2）若點M在拋物線C的準線上運動，其縱坐標的取值范圍是[﹣1，1]，且 ，點N是以線段AB為直徑的圓與拋物線C的準線的一個公共點，求點N的縱坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設拋物線的標準方程為y2=2px（p＞0），其焦點F的坐標為

直線l的方程為 ，A（x1，y1），B（x2，y2），

聯立方程 消去x得：y2﹣2pty﹣p2=0，

所以 ，

因為 ，解得p=1，

所以所求拋物線C的標準方程為y2=2x

（2）解：設點 ，

由（1）知， ，所以 ，

因為 ，

所以（t﹣m）2=9得t=m+3或t=m﹣3，

因為﹣1≤m≤1，∴2≤t≤4或﹣4≤t≤﹣2，

由拋物線定義可知，以線段AB為直徑的圓與拋物線C的準線相切，

所以點N的縱坐標為 ，

所以點N的縱坐標的取值范圍是[﹣4，﹣2]∪[2，4]

【解析】（1）設出拋物線方程，聯立方程 消去x得：y2﹣2pty﹣p2=0，利用韋達定理及向量的數量積公式，求出p，即可求拋物線的方程；（2）由（1）知， ，結合 ，確定t的范圍，根據拋物線的定義可知，以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切，可得點N的縱坐標為 ，即可求出點N的縱坐標的取值范圍．