Question

19、已知橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦點為F₁、F₂，離心率為e。直線l：y＝ex＋a與x軸、y軸分別交于點A、B，M是直線l與橢圓C的一個公共點，P是點F₁關于直線l的對稱點，設＝λ。

（Ⅰ）證明：λ＝1－e²

（Ⅱ）確定λ的值，使得△PF₁F₂是等腰三角形。

Answer 1

19．（Ⅰ）因為A、B分別是直線l：與x軸、y軸的交點，所以A、B的坐標分別是,.

設M的坐標是

所以    

因為點M在橢圓上，所以 

即

  

解得

   （Ⅱ）解法一：因為PF₁⊥l，所以∠PF₁F₂=90°+∠BAF₁為鈍角，要使△PF₁F₂為等腰三角形，必有|PF₁|=|F₁F₂|，即

    設點F₁到l的距離為d，由

    得  

所以

    即當△PF₁F_­2­­為等腰三角形.

解法二：因為PF₁⊥l，所以∠PF₁F₂=90°+∠BAF₁為鈍角，要使△PF₁F₂為等腰三角形，必有|PF₁|=|F₁F₂|，

設點P的坐標是，

則

由|PF₁|=|F₁F₂|得

兩邊同時除以4a²，化簡得  從而

于是.  

即當時，△PF₁F₂為等腰三角形.