Question

設(shè)某銀行的總存款額與銀行付給存儲戶的年利率的平方成正比，比例系數(shù)為k（k＞0），若銀行以9%的年利率將總存款的80%貸出，問：銀行給存儲戶支付的年利率為多少時，銀行才能獲得最大利潤？

Answer 1

解：設(shè)銀行支付給儲戶的年利率為x，銀行獲得的年利潤為y，
年利潤為y=貸款所得利潤-支付儲戶利息的成本
則y=kx²×0.8×0.09-kx²•x=0.072kx²-kx³（x＞0）．
y'=0.144kx-3kx²=3kx（0.048-x），
令y'=0，得x=0.048，
當(dāng)x＜0.048時，y'＞0；
當(dāng)x＞0.048時，y'＜0．
故當(dāng)x=0.048時，y取極大值，
并且這個極大值就是函數(shù)y的最大值．
所以，當(dāng)銀行支付給儲戶年利率為4.8%時，銀行才能獲得最大利潤．
分析：設(shè)銀行支付給儲戶的年利率為x，銀行獲得的年利潤為y，然后建立年利潤y關(guān)于年利率x的函數(shù)關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可．
點評：本題主要考查函數(shù)的生產(chǎn)實際中的具體應(yīng)用，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，屬于中檔題．