Question

12．某志愿者到某山區小學支教，為了解留守兒童的幸福感，該志愿者對某班40名學生進行了一次幸福指數的調查問卷，并用莖葉圖表示如圖（注：圖中幸福指數低于70，說明孩子幸福感弱；幸福指數不低于70，說明孩子幸福感強）．
（1）根據莖葉圖中的數據完成2×2列聯表，并判斷能否有95%的把握認為孩子的幸福感強與是否是留守兒童有關？

	幸福感強	幸福感弱	總計
留守兒童	6	9	15
非留守兒童	18	7	25
總計	24	16	40

（2）從15個留守兒童中按幸福感強弱進行分層抽樣，共抽取5人，又在這5人中隨機抽取2人進行家訪，求這2個學生中恰有一人幸福感強的概率．
參考公式：${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$．
附表：

P（K2≥k0）	0.050	0.010
k0	3.841	6.635

Answer 1

分析 （1）根據題意，填寫2×2列聯表，計算觀測值，對照臨界值表得出結論；
（2）按分層抽樣方法抽出幸福感強的孩子，利用列舉法得出基本事件數，求出對應的概率值．

解答 解：（1）根據題意，填寫2×2列聯表如下：

	幸福感強	幸福感弱	總計
留守兒童	6	9	15
非留守兒童	18	7	25
總計	24	16	40

計算${K^2}=\frac{{40×{{（{6×7-9×18}）}^2}}}{15×25×24×16}=4＞3.841$，
對照臨界值表得，有95%的把握認為孩子的幸福感強與是否留守兒童有關；…（6分）
（2）按分層抽樣的方法可抽出幸福感強的孩子2人，記作：a₁，a₂；
幸福感弱的孩子3人，記作：b₁，b₂，b₃；
“抽取2人”包含的基本事件有（a₁，a₂），（a₁，b₁），（a₁，b₂），（a₁，b₃），
（a₂，b₁），（a₂，b₂），（a₂，b₃），
（b₁，b₂），（b₁，b₃），（b₂，b₃）共10個；…（8分）
事件A：“恰有一人幸福感強”包含的基本事件有
（a₁，b₁），（a₁，b₂），（a₁，b₃），
（a₂，b₁），（a₂，b₂），（a₂，b₃）共6個；…（10分）
故所求的概率為$P（A）=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$．…（12分）

點評 本題考查了對立性檢驗與分層抽樣方法和列舉法求古典概型的概率問題，是綜合性題目．