Question

設函數f（x）=ax³+bx+c（a≠0）為奇函數，其圖象在點（1，f（1））處的切線與直線x-6y-7=0垂直，導函數f′（x）的最小值為-12．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調遞增區間，并求函數f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據奇函數求出c的值，再根據導函數f'（x）的最小值求出b的值，最后依據在x=1處的導數等于切線的斜率求出c的值即可；
（Ⅱ）先求導數fˊ（x），在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求得區間即為單調區間，根據極值與最值的求解方法，將f（x）的各極值與其端點的函數值比較，其中最大的一個就是最大值，最小的一個就是最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）為奇函數，
∴f（-x）=-f（x）
即-ax³-bx+c=-ax³-bx-c
∴c=0
∵f'（x）=3ax²+b的最小值為-12
∴b=-12
又直線x-6y-7=0的斜率為

1

6

因此，f'（1）=3a+b=-6
∴a=2，b=-12，c=0．
（Ⅱ）f（x）=2x³-12x．f′(x)=6x2-12=6(x+

2

)(x-

2

)，列表如下：

所以函數f（x）的單調增區間是(-∞，-

2

)和(

2

，+∞)
∵f（-1）=10，f(

2

)=-8

2

，f（3）=18
∴f（x）在[-1，3]上的最大值是f（3）=18，最小值是f(

2

)=-8

2

．

點評：本題考查函數的奇偶性、單調性、二次函數的最值、導數的應用等基礎知識，以及推理能力和運算能力．