Question

如圖，是某三棱柱被截去一部分后的直觀圖與三視圖的側視圖、俯視圖，在直觀圖中，CF=2AD，M是DF的中點．側視圖是邊長為2的等邊三角形；俯視圖是直角梯形，．有關數據如圖所示．

（1）求該幾何體的體積；
（2）求證：EM⊥平面ACDF．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）取CF中點P，過P作PQ∥CB交BE于Q，連接PD，QD，該幾何體的體積V=V_{三棱柱PDQ-ABC}+V_D-EFPQ然后求解即可．
（Ⅱ）取BC中點O，EF中點R，連接OA，OR，以O為原點，OB，OR，OA所在直線分別為x，y，z軸．建立空間直角坐標系，求平面ABED的法向量 ，平面DEF的法向量為 ，利用 求二面角B-DE-F的余弦值．
解答：
解：（Ⅰ）取CF中點P，過P作PQ∥CB交BE于Q，
連接PD，QD，AD∥CP，且AD=CP．四邊形ACPD為平行四邊形，
∴AC∥PD，∴平面PDQ∥面ABC．
∴；（5分）
（Ⅱ）取BC中點O，EF中點R，連接OA，OR．
則OA⊥BC，∴OA⊥平面BCFE，OA⊥OR．
又∵OR⊥BC，以O為原點，OB，OR，OA所在直線分別為x，y，z軸，
建立空間直角坐標系，則B（1，0，0），D（0，2，），E（1，3，0），F（-1，4，0）
設平面DEF的法向量為
∵∵
∴
令
設平面ABED的法向量
∵
，∴
令 ，∴
∴∴=，
顯然二面角B-DE-F的平面角為鈍角，
所以二面角B-DE-F的余弦值為 ．（12分）
點評：本題考查三視圖求體積，求組合幾何體的面積、體積問題，考查學生空間想象能力，邏輯思維能力，解答的關鍵是建立空間坐標系后利用空間向量解決，是中檔題．