Question

已知函數f（x）=sin²ωx+

3

sinωxsin（ωx+

π

2

）+2cos²ωx，x∈R（ω＞0），在y軸右側的第一個最高點的橫坐標為

π

6

．
（1）求f（x）的對稱軸方程；
（2）求f（x）的單調遞增區間．

Answer 1

分析：（1）用二倍角公式可將函數化簡為f（x）=sin（2ωx+

π

6

）+

3

2

，再由在y軸右側的第一個最高點的橫坐標為

π

6

可解得ω=1，由此得
f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

，由其性質可令2x+

π

6

=kπ+

π

2

（k∈Z）從中解出對稱軸方程．
（2）由正弦函數的性質，令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），即可解出其單調增區間．

解答：解：（1）f（x）=

3

2

sin2ωx+

1

2

cos2ωx+

3

2

=sin（2ωx+

π

6

）+

3

2

．
令2ωx+

π

6

=

π

2

，將x=

π

6

代入可得：ω=1，
f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

，
對稱軸方程為2x+

π

6

=kπ+

π

2

（k∈Z），
即x=

1

2

kπ+

π

6

（k∈Z）．
（2）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）可得
單調增區間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）．

點評：本題的考點是正弦函數的對稱性，考查利用兩角和與差的公式化簡解析式，以及根據三角函數的性質求對軸方程與求函數的單調區間．