Question

設函數f（x）在（-∞，+∞）上滿足f（x）=f（4-x），f（7-x）=f（7+x），且在閉區間[0，7]上，只有f（1）=f（3）=0，則函數f（x）的最小正周期為

10

，方程f（x）=0在閉區間[-2005，2005]上有

802

個根．

Answer 1

分析：根據滿足f（x）=f（4-x），f（7-x）=f（7+x），可得f（x）=f（x+10），從而得出函數f（x）的最小正周期；由周期函數性質可知，只需求出一個周期里的根的個數，可求得f（x）在[0，10]和[-10，0]上均有有兩個解，從而可知函數y=f（x）在[0，2005]上有402個解，在[-2005，0]上有400個解，綜合可得答案．

解答：解：由  f（x）在R上滿足f（x）=f（4-x），f（7-x）=f（7+x），
⇒f（x）=f（4-x），f（x）=f（14-x）
⇒f（4-x）=f（14-x）⇒f（x）=f（x+10）
故函數f（x）的最小正周期為 10．
又f（3）=f（1）=0⇒f（11）=f（13）=f（-7）=f（-9）=0
故f（x）在[0，10]和[-10，0]上均有有兩個解，
從而可知函數y=f（x）在[0，2005]上有402個解，在[-2005，0]上有400個解，
所以函數y=f（x）在[-2005，2005]上有802個解．
故答案為：10，802．

點評：本題主要考查了函數的周期性和根的存在性及根的個數判斷，屬于基礎題．