Question

19、已知函數(shù)f（x）=a+b^x-1（b＞0，b≠1）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，3），函數(shù)f^-1（x+a）（a＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，2），試求函數(shù)f^-1（x）的表達(dá)式．

Answer 1

分析：函數(shù)f（x）=a+b^x-1（b＞0，b≠1）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，3），則f（1）=3．f^-1（x+a）（a＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，2），試求函數(shù)f^-1（4+a）=2．根據(jù)兩個(gè)方程，求出待定系數(shù)a、b．再根據(jù)求反函數(shù)的方法，求出反函數(shù)即可．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=a+b^x-1（b＞0，b≠1）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，3），
∴a+b⁰=3，a=3-b⁰=3-1=2．
又函數(shù)f^-1（x+a）（a＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，2），
∴f^-1（4+a）=2．
∴f（2）=4+a=4+2=6，
即2+b^2-1=6．
∴b=4．
故f（x）=2+4^x-1．
再求其反函數(shù)即得
f^-1（x）=log₄（x-2）+1（x＞2）．
答：其反函數(shù)為f^-1（x）=log₄（x-2）+1（x＞2）．

點(diǎn)評(píng)：注意反函數(shù)有一個(gè)重要性質(zhì)就是f^-1（a）=b．則必有f（b）=a，要靈活使用該性質(zhì)．在求出反函數(shù)后，必須標(biāo)明反函數(shù)的定義域．