Question

如圖：在平面直角坐標系xOy中，四邊形OABC是平行四邊形，A(4，0)，C(1，

3

)，點M是OA的中點，點P在線段BC上運動（包括端點）
（1）求u=

OP

•

CM

的最大值．
（2）是否存在實數λ，使(λ

OA

-

OP

)⊥

CM

？若存在，求出滿足條件的實數λ的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設出P的坐標，求出線段OP，CM對應的向量的坐標，利用向量的數量積公式，即可求得u=

OP

•

CM

的最大值；
（2）表示出向量坐標，利用數量積為0，結合t的范圍，可得結論．

解答：解：（1）設P（t，

3

），其中1≤t≤5．
于是

OP

=（t，

3

），而

CM

=（1，-

3

），
所以u=

OP

•

CM

=（t，

3

）•（1，-

3

）=t-3．
故u=

OP

•

CM

的取值范圍是[-2，2]，所以u=

OP

•

CM

的最大值為2；
（2）λ

OA

-

OP

=（4λ-t，-

3

），

CM

=（1，-

3

），
∵(λ

OA

-

OP

)⊥

CM

，∴4λ-t+3=0，
∵1≤t≤5，∴-

1

2

≤λ≤

1

2

．
即-

1

2

≤λ≤

1

2

時，(λ

OA

-

OP

)⊥

CM

．

點評：本題考查向量知識的運用，考查學生的運算能力，正確運用數量積公式是關鍵．