Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦點為F₁（-c，0），F₂（c，0），點Q是橢圓外的動點，滿足|

F1Q

|=2a，點P是線段F₁Q與該橢圓的交點
（1）若點P的橫坐標為

a

2

，證明：|

F1P

|=a+

c

2

（2）若存在點Q，使得△F₁QF₂的面積等于b²，求橢圓離心率的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）確定橢圓的左準線方程，利用橢圓的定義，可得

| F1P |

| a 2 + a2 c |

=

c

a

，從而可得結論；
（2）確定Q的軌跡方程，利用存在點Q，使得△F₁QF₂的面積等于b²，確定Q的縱坐標，即可求橢圓離心率的取值范圍．

解答：（1）證明：橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左準線方程為x=-

a2

c

∵點P的橫坐標為

a

2

，
∴由橢圓的定義可知，

| F1P |

| a 2 + a2 c |

=

c

a

，
∴|

F1P

|=a+

c

2

；
（2）解：設Q（x，y），則
∵|

F1Q

|=2a，∴（x+c）²+y²=4a²
∴|y|≤2a
∵存在點Q，使得△F₁QF₂的面積等于b²，
∴

1

2

•2c•|y|=b2
∴|y|=

b2

c

∴

b2

c

≤2a
∴e²+2e-1≥0
∴e≥

2

-1或e≤-

2

-1
∵0＜e＜1
∴

2

-1≤e＜1．

點評：本題考查橢圓的定義，考查橢圓的性質，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．