Question

如圖（1）所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=2，E、F、G分別為線段PC、PD、BC的中點，現將△PDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD（圖（2））．
（1）若點Q是線段PB的中點，求證：PC⊥平面ADQ；
（2）求二面角G-EF-D的余弦值．
（3）若K為△PAD的重心，H在線段EG上，KH∥平面PDC，求出H到面PAC的距離．

Answer 1

分析：（1）連接DE，EQ，利用面面垂直的性質，可得線面垂直，從而可得線線垂直，進而可得線面垂直；
（2）根據CD⊥AD，CD⊥PD，則CD⊥平面PAD，根據中位線可知EF∥CD，從而EF⊥平面PAD，根據二面角平面角的定義可知∠MED為二面角G-EF-D的平面角，在Rt△FDM中，求出此角即可；
（3）證明H到面PAC的距離為G到面PAC的距離的

2

3

，從而可得H到面PAC的距離為B到面PAC的距離的

1

3

，利用等體積，即可求得結論．

解答：（1）證明：連接DE，EQ，
∵E、Q分別是PC、PB的中點，∴EQ∥BC∥AD．
∵平面PDC⊥平面ABCD，PD⊥DC，∴PD⊥平面ABCD．
∴PD⊥AD，又AD⊥DC，∴AD⊥平面PDC，∴AD⊥PC．
在△PDC中，PD=CD，E是PC的中點，
∴DE⊥PC，∴PC⊥平面ADEQ，即PC⊥平面ADQ
（2）解：由條件知，CD⊥AD，CD⊥PD，AD∩PD=D，所以，CD⊥平面PAD，
又EF為三角形PCD的中位線，所以EF∥CD，所以EF⊥平面PAD，
即DP⊥EF，MF⊥EF，
所以∠MFD為二面角G-EF-D的平面角，
在Rt△FDM中，DM=DF=1，所以∠MFD=45°，
所以二面角G-EF-D的余弦值為

2

2

（3）解：連接AF，則K在AF上，連接BE，作

BJ

JE

=

2

1

，則

AK

KF

=

BJ

JE

=

2

1

，連接KJ，作

AM

MD

=

BN

NC

=

2

1

，平面MNJK與線段EG交于H，連接KH，則KH∥平面PDC，
∴

HE

GE

=

NC

GC

=

2

3

∴H到面PAC的距離為G到面PAC的距離的

2

3

．
∵G為BC的中點，點G到面PAC的距離又是B到面PAC的距離的

1

2

，
∴H到面PAC的距離為B到面PAC的距離的

1

3

設B到面PAC的距離為h，則由等體積V_B-PAC=V_P-ABC，可得h=

2 3

3

∴H到面PAC的距離為

2 3

9

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及二面角的度量，考查點面距離的計算，難度較大．