Question

已知f(x)=sinx+

3

cosx+2，x∈R
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）求函數f（x）的最大值，并指出此時x的值．
（3）求函數f（x）的對稱軸和對稱中心．

Answer 1

分析：把函數解析式前兩項提取2，利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，
（1）由化簡后的解析式找出ω的值，代入周期公式T=

2π

|ω|

，即可求出函數的最小正周期；
（2）由正弦函數的值域[-1，1]，得到正弦函數的最大值為1，進而確定出函數的最大值；并讓正弦函數中的角等于2kπ+

π

2

，求出x的值，即為函數取得最大值時x的值；
（3）根據正弦函數的對稱軸為x=kπ+

π

2

，對稱中心為（kπ，2），分別列出關于x的方程，求出方程的解即可得到函數f（x）的對稱軸及對稱中心．

解答：（本小題滿分12分）
解：f(x)=sinx+

3

cosx+2=2sin(x+

π

3

)+2，
（1）∵ω=1，
∴函數f（x）的最小正周期是T=

2π

1

=2π；
（2）當sin（x+

π

3

）=1時，f（x）取得最大值，最大值為4，
此時x+

π

3

=

π

2

+2kπ，即x=2kπ+

π

6

（k∈Z）；
（3）令x+

π

3

=kπ+

π

2

，解得：x=kπ+

π

6

，
令x+

π

3

=kπ，解得：x=kπ-

π

3

，
則f（x）的對稱軸為x=kπ+

π

6

（k∈Z），對稱中心為(kπ-

π

3

，2)（k∈Z）．
評分說明：此處對稱軸一定要寫成x=kπ+

π

6

（k∈Z）的形式；
對稱中心學生容易寫成(kπ-

π

3

，0)，一律零分；
另外，k∈Z沒寫，一個扣（1分）．

點評：此題考查了三角函數的周期性及其求法，兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的對稱性，以及正弦函數的定義域和值域，其中利用三角形函數的恒等變形把函數解析式化為一個角的正弦函數是解本題的關鍵．