Question

【題目】為響應國家擴大內需的政策，某廠家擬在2016年舉行某一產品的促銷活動，經調查測算，該產品的年銷量（即該廠的年產量）x萬件與年促銷費用t（t≥0）萬元滿足x=4﹣ （k為常數）．如果不搞促銷活動，則該產品的年銷量只能是1萬件．已知2016年生產該產品的固定投入為6萬元，每生產1萬件該產品需要再投入12萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品平均生產投入成本的1.5倍（生產投入成本包括生產固定投入和生產再投入兩部分）．
（1）求常數k，并將該廠家2016年該產品的利潤y萬元表示為年促銷費用t萬元的函數；
（2）該廠家2016年的年促銷費用投入多少萬元時，廠家利潤最大？

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，不搞促銷活動，則該產品的年銷量只能是1萬件，知t=0時，x=1（萬件），

∴1=4﹣k，得k=3，

從而x=4﹣ ，又每件產品的銷售價格為1.5× 元，

∴2016年的利潤為y=1.5× ×x﹣（6+12x+t）=3+6x﹣t=27﹣ ﹣t（t≥0）；

（2）設2t+1=m（m≥1），由（1）得，y= ﹣（ + ），

∵m≥01時， + ≥2 =6，

∴y≤ ，

當且僅當 = ，即m=6，t=2.5（萬元）時取等號，此時，ymax= （萬元）．

答：該廠家2016年的促銷費用投入2.5萬元時，廠家的利潤最大，最大值為 萬元．

【解析】（1）不搞促銷活動，則該產品的年銷量只能是1萬件，可求k的值，確定每件產品的年銷量價格，結合廠家將每件產品的銷售價格定位每件產品年平均成本的1.5倍，即可求得函數的解析式，（2）利用基本不等式，即可求得最值.