Question

函數f（x）是定義在（-1，1）上的奇函數，
①已知f（x）是單調減函數，求不等式f（1-a）+f（1-a²）＜0的解；
②已知f（x）在區間[0，1）上是減函數，證明：f（x）是單調減函數．

Answer 1

分析：①先利用奇偶性化簡成f（1-a）＜f（a²-1），再利用單調性建立不等關系，根據定義域的范圍建立兩個不等關系，解不等式組即可．
②設-1＜x₁＜x₂＜1，只需證明f（x₁）＞f（x₂）．將x₁，x₂的取值分類求證．

解答：解：①f（1-a）＜-f（1-a²）
∴f（1-a）＜f（-1+a²）
∴1＞1-a＞-1+a²＞-1即0＜a＜1                                
②設-1＜x₁＜x₂＜1，只需證明f（x₁）＞f（x₂）
i當0≤x₁＜x₂＜0時，顯然有f（x₁）＞f（x₂）成立；            
ii當-1＜x₁＜x₂≤0時，有1＞-x₁＞-x₂≥0
∴f（-x₁）＜?（-x₂）∴-f（x₁）＜-f（x₂）
即：f（x₁）＞f（x₂）成立；                                      
iii當-1＜x₁＜0＜x₂＜1時，有f（x₁）＞f（0）且?（0）＞f（x₂）
即：f（x₁）＞f（x₂）成立；
綜上，當-1＜x₁＜x₂＜1時，總有：f（0）＞f（x₂）
即：f（x）是單調減函數．

點評：本題主要考查了函數奇偶性的應用，以及單調性的應用，這兩個性質是函數的重要性質．利用函數的奇偶性與單調性解抽象不等式．應先將抽象不等式轉化為具體不等式．